Хвилі всюди. Ми чуємо їх як звуки, бачимо в них світло, відчуваємо, як океан розбухає, і покладаємося на них щоразу, коли використовуємо Wi-Fi або мобільний телефон. Під усіма цими різними явищами лежить спільна мова: математика хвиль. Як тільки ви зрозумієте цю мову, дуже різні частини Всесвіту починають виглядати напрочуд схожими.
У цій статті представлені ключові математичні ідеї, що стоять за хвилями, і показано, як вони застосовуються до звуку, світла та інших форм енергії. Вам не потрібно бути професійним фізиком — лише допитливий і готовий зустріти кілька рівнянь на цьому шляху.
Що робить хвилю хвилею?
По суті, хвиля — це рухоме порушення. Щось — тиск, висота, електричне поле, магнітне поле — коливається в одному місці, і це коливання рухається в просторі, несучи енергію, але не обов’язково має значення.
Коливання і періодичність
Коливання означає повторюваний рух навколо деякого положення рівноваги: розмахування маятника, вібрування гітарної струни, молекула повітря, що стискається і розширюється. Коли це коливання регулярно повторюється вчасно, ми називаємо це періодичним. Математично, періодичний рух часто описується за допомогою синусових і косинусних функцій:
u(t) = a u00b7 sin(2pi f t + phi)
Тут a амплітуда (наскільки велике коливання), f – частота (скільки циклів за секунду), а u03c6 – це фаза (де в циклі починається рух).
Довжина хвилі, частота, амплітуда і швидкість
Коли коливання проходить через космос, воно стає хвилею. Потім ми описуємо це за допомогою чотирьох ключових величин:
- амплітуда (а): максимальний розмір збурення (гучність звуку, яскравість світла, висота хвиль води).
- довжина хвилі (u03bb): відстань між повторюваними точками, наприклад, гребінь до гребеня.
- Частота (f): скільки циклів проходять точку за секунду, виміряна в герцах (Гц).
- Швидкість хвилі (V): як швидко хвильовий шаблон рухається в просторі.
Вони пов’язані простим, але потужним відношенням:
v = f u00b7 u03bb
Якщо ви знаєте якісь дві з цих величин, ви можете знайти третю.
Передача енергії без сипучого транспорту
Ключовою властивістю хвиль є те, що вони передають енергію, а не масову речовину. Коли звукові хвилі проходять у повітрі, молекули коливаються навколо своїх вихідних положень; Вони не переміщуються від динаміка до вашого вуха. Візерунок рухається, середовище в основному ні. Ось чому ви можете відчути стукіт басової ноти через кімнату без фізичного потоку повітря до вас.
Звукові та механічні хвилі: вібрації в матерії
Звук є класичним прикладом механічної хвилі — хвилі, для подорожі якої потрібне матеріальне середовище (повітря, вода, тверде тіло).
Звук як хвилі тиску
Коли конус гучномовця вібрує, він штовхає і тягне за сусідні молекули повітря, створюючи області стиснення та розрідження. Ці зміни тиску рухаються назовні як поздовжня хвиля: коливання частинок відбувається в тому ж напрямку, що й хвиля.
- Вища частота → Вищий сприйнятий висота.
- Більша амплітуда → гучніший звук.
Одновимірне хвильове рівняння
Поведінку багатьох хвиль можна охопити класичним хвильовим рівнянням. В одному вимірі його можна записати як:
u2202u00b2u/u2202tu00b2 = cu00b2 u00b7 u2202u00b2u/u2202xu00b2
Тут u(x,t) описує зміщення або порушення в положенні x і час t, а c — швидкість хвилі. Ліва сторона показує, як швидко збурення прискорюється в часі; Права сторона показує, наскільки вона вигнута в просторі. Рівняння говорить: якщо регіон більш «вигнутий», ніж його сусіди, він зміниться з часом таким чином, щоб поширити цю кривизну, утворюючи хвилю.
Резонанс і стоячі хвилі
Коли хвилі відбиваються від кордонів, як-от нерухомі кінці гітарної струни або стінки органної труби, вони можуть втручатися в себе, утворюючи стоячі хвилі. У стоячих хвилях певні точки залишаються відносно нерухомими (вузли), а інші коливаються з великою амплітудою (антиноди). Лише конкретні довжини хвилі «відповідають» граничним умовам, що веде до дискретних резонансних частот. Ці резонанси надають музичним інструментам характерні тони.
Сейсмічні хвилі
Землетруси генерують різні види механічних хвиль всередині Землі: P-хвилі (компресійні), S-хвилі (зсув) і поверхневі хвилі. Вимірюючи їх швидкість і те, як вони подорожують, сейсмологи використовують ту саму математику хвиль, щоб зробити висновок про внутрішню структуру нашої планети.
Електромагнітні хвилі: світло без середовища
На відміну від звуку, світло не потребує повітря, води чи будь-якого матеріалу. Він може подорожувати через вакуум космосу, тому що це хвиля в електричних і магнітних полях, а не в матерії.
Прозріння Максвелла
У 19 столітті Джеймс Клерк Максвелл об’єднав електрику та магнетизм в єдину теорію, описану чотирма рівняннями. Чудовим наслідком є те, що зміна електричних полів генерує магнітні поля, а змінні магнітні поля генерують електричні поля. У сукупності вони дозволяють самостійним електромагнітним хвилям подорожувати в космосі.
З рівнянь Максвелла можна вивести хвильове рівняння для електричного поля e виду:
u2202u00b2E/u2202tu00b2 = cu00b2 u00b7 u2202u00b2E/u2202xu00b2
де c – швидкість світла. Знову з’являється така ж форма: універсальне хвильове рівняння, яке тепер керує полями замість тиску повітря.
Електромагнітний спектр
Електромагнітні хвилі утворюють широкий спектр, що відрізняються частотою або довжиною хвилі:
- Радіохвилі
- мікрохвильові печі
- інфрачервоний
- видиме світло
- ультрафіолет
- рентгенівські промені
- гама-промені
Радіохвилі нижньої частоти можуть долати великі відстані і проникати через перешкоди; Високочастотні гамма-промені несуть величезну енергію і можуть пошкодити біологічну тканину. Проте математично всі вони є розв’язками одних і тих самих хвильових рівнянь, що відрізняються лише частотою та довжиною хвилі.
подвійність хвиля-частинка
У квантовій механіці світло також можна описати як дискретні пакети енергії, які називаються фотонами. У багатьох ситуаціях хвильова картина зручніша (перешкодування, дифракція, поляризація). В інших, наприклад, фотоелектричні ефекти, зображення частинок є більш природним. Сучасна фізика приймає обидва як додаткові описи однієї основної реальності.
Енергія в хвилях: амплітуда, інтенсивність і потужність
Однією з найважливіших причин для вивчення хвиль є розуміння того, як рухається енергія.
Амплітуда і енергія
Для багатьох хвиль енергія, яку вони несуть, пропорційна квадрату їх амплітуди. Подвійну амплітуду, і ви вчетверо збільшите енергію. Ось чому невелике збільшення висоти океанських хвиль може означати величезний стрибок руйнівної сили, і чому трохи збільшення гучності може значно збільшити звукову енергію.
Інтенсивність і потік потужності
Інтенсивність – це потужність на одиницю площі, яку переносить хвиля. В електромагнітних хвилях це часто представлено вектором Пойнтінга, який поєднує електричні та магнітні поля, щоб показати напрямок і швидкість потоку енергії. Хоча повна математика може бути складною, основна ідея залишається простою: хвилі рухають енергію в просторі, і ми можемо обчислити, скільки і в якому напрямку.
Інтерференція: коли хвилі поєднуються
Одним з найкрасивіших наслідків хвильової математики є принцип суперпозиції: якщо дві або більше хвиль проходять через одну область, тотальне порушення є сумою їх окремих порушень.
Конструктивне і руйнівне втручання
Коли дві хвилі однакової частоти збігаються від гребеня до гребені, їх амплітуди додають, створюючи більшу хвилю — конструктивну інтерференцію. Коли гребінь зустрічається з жолобом, вони частково або повністю скасовуються — руйнівні перешкоди. Це просте правило створює складні візерунки в акустиці, оптики та не тільки.
Б’є в звукі
Якщо дві звукові хвилі мають дещо різні частоти, їх суперпозиція створює удари: візерунок, де звук періодично стає все голосніше і м’якше. Математично частота ударів дорівнює різниці між двома вихідними частотами.
Експеримент з подвійною щілиною
У класичному експерименті з подвійними щілинами світло, що проходить через два вузьких отвори, створює на екрані візерунок із яскравих і темних смуг. Це виникає через перешкоди: там, де світло з двох щілин надходить у фазі, воно яскравіше; Там, де він приходить не по фазі, він темніє. Цей експеримент був вирішальним доказом того, що світло поводиться як хвиля, і він залишається наріжним каменем у фізкультурі (Лекції Фейнмана).
Дифракція і заломлення: згинання і зміна хвиль
Дифракція: хвилі по кутах
Дифракція – це тенденція хвиль розповсюджуватися, коли вони проходять через отвір або навколо перешкоди. Довгохвильові радіохвилі дифрагують пагорби, тому вони можуть досягати приймачів, які не знаходяться в прямій видимості. Рентгенівські промені з крихітними довжинами хвиль дифрагують кристали, створюючи візерунки, які розкривають атомні структури.
Заломлення: зміна швидкості та напрямку
Заломлення відбувається, коли хвиля змінює швидкість, коли вона входить у нове середовище, викликаючи її напрямок згинання. Світло сповільнюється, коли воно надходить у воду або скло з повітря, згинаючись до нормальної лінії. Ця поведінка враховується в законі Снелла, який пов’язує синус кутів падіння та заломлення зі швидкістю хвилі (або індексами заломлення) у кожному середовищі.
Фазова швидкість проти групової швидкості
У деяких системах, особливо в оптиці та квантовій механіці, корисно розрізнити фазову швидкість (швидкість, з якою окремі піки хвилі рухаються) і групову швидкість (швидкість, з якою рухається загальна огинаюча або «пакет» хвилі). Інформація та енергія зазвичай рухаються з груповою швидкістю, не обов’язково з фазовою швидкістю.
Хвилі в сучасних технологіях
Анотація рівнянь хвильового руху багатьох повсякденних технологій.
Communication Systems
Радіо, телебачення, Wi-Fi і мобільні мережі покладаються на електромагнітні хвилі. Інформація кодується шляхом модуляції амплітуди, частоти або фази несучих хвиль. Конструкція антен, фільтрів і протоколів зв’язку глибоко вкорінена в хвильовій математиці та аналізі Фур’є.
Лазери і оптика
Лазери виробляють дуже когерентне світло: хвилі з фіксованою фазовою залежністю. Ця когерентність дозволяє променям залишатися вузькими на великих відстанях і втручатися в точно контрольовані способи, що дозволяє застосувати від сканерів штрих-коду до волоконно-оптичного зв’язку та точної хірургії.
Медичне зображення
Ультразвук використовує механічні хвилі, щоб зобразити внутрішню частину тіла, вимірюючи відображення та затримки в часі. МРТ використовує електромагнітні хвилі та резонанс в атомних ядрах. У кожному випадку ретельно контрольовані хвилі несуть інформацію, яку математичні алгоритми реконструюють у зображення (is&t science imaging science).
Єдиний погляд: одне рівняння, багато явищ
Одним з найяскравіших аспектів хвильової математики є її єдність. Те саме хвильове рівняння з’являється в сценаріях, які на поверхні виглядають зовсім по-різному.
Універсальне хвильове рівняння
Незалежно від того, чи моделюєте ви вібрації струни, акустичні хвилі в кімнаті, електромагнітні хвилі в просторі чи невеликі брижі на ставку, ви часто отримуєте рівняння однієї форми. Різні фізичні константи та граничні умови призводять до різної поведінки, але основна математика є спільною.
Аналіз Фур’є: розкладання хвиль
Будь-який досить добре поведений сигнал можна розкласти на суму простих синусових і косинусних хвиль різних частот — процес, відомий як аналіз Фур’є. Ця ідея є центральною для стиснення звуку, обробки зображень, телекомунікацій і навіть машинного навчання. Розбиваючи складні шаблони на простіші хвилі, ми отримуємо як розуміння, так і потужні інструменти для обчислень.
Висновок: прихована архітектура реальності
Від слабкого гулу далеких галактик до такту вашої улюбленої пісні, хвилі — це прихована архітектура того, як енергія та інформація рухаються по Всесвіту. Математика хвиль — коливання, частоти, суперпозиція і хвильове рівняння — пропонує об’єднуючу мову, яка з’єднує звук, світло та багато інших явищ під одним концептуальним дахом.
Навчитися мислити хвилями – це більше, ніж абстрактна вправа. Він висвітлює технології, на які ми покладаємося щодня, і відкриває вікно в глибоку структуру фізичної реальності. Як тільки ви бачите світ крізь призму хвиль, ви починаєте помічати їх скрізь — і Всесвіт стає трохи більш цілісним, трохи більш ритмічним і набагато більш захоплюючим.